ทำไม 1 + 1 = 2 และ 2 + 2 = 4?

มีสองคำถามบนโลกสีน้ำเงินใบนี้ที่ถือว่ากวนมาก เพราะผู้ถูกถามก็อยากจะรู้เหมือนกันว่าคนถามคาดหวังอะไรจากสังคม?

สำหรับคำถามแรกที่ว่า ไก่กับไข่อะไรเกิดก่อนกัน นั้น ไอ้เราก็พอจะตอบได้หรอกว่าไก่ต้องเกิดก่อน แม้เราจะไม่ได้จบชีววิทยาและไม่ได้มีแฟนเป็นสัตว์แพทย์ เราก็พอจะเข้าใจได้ว่าไก่นั้นต้องวิวัฒนาการมาจากสัตว์อื่นก่อน จากนั้นจึงโดนตัวผู้ไล่ปล้ำแล้วออกไข่เพื่อฟักออกมาเป็นอีเจี๊ยบ จากนั้นจึงเข้าสู่กระบวนการแปลงร่างเป็นนักเก็ตไก่แสนอร่อย ให้ผู้พันแซนเดอส์วางขายตามแผง KFC

วันก่อนครับมีน้องหลังไมค์มาถามทางเพจว่ามีเรื่องอยากปรึกษา ไอ้เราก็นึกว่าจะถามเรื่องการเขียนโปรแกรม บอกเลยว่าผิดหวังมากเพราะเตรียมเปิด Google ไว้ก็อบปี้คำตอบเต็มที (ใช่หรอ - -)

น้องคนนี้เริ่มประโยคด้วยคำถามแสนกวนลำดับสองคือ 1 + 1 = ? ซึ่งแน่นอนว่าผมต้องตอบ 2 หลังคำตอบสิ้นสุด น้องก็ถามขึ้นมาว่า แล้วพี่รู้ได้ไงหละว่า 1 + 1 = 2? และนั่นหละครับคือที่มาของบทความนี้...

สัจพจน์เปอาโน

มีข้อความหลายประเภทที่เป็นข้อตกลงหรือยอมรับกันว่าเป็นความจริงโดยไม่ต้องพิสูจน์ เราต่างทราบกันดีว่าพนักงานบริษัทเอกชนจะเกษียณตอนอายุ 55 ปี นั่นคือความจริงครับไม่จำเป็นต้องพิสูจน์ด้วยการรอให้แก่งั๊กๆจนอายุถึง 55 ก่อน แล้วดูซิว่าจะมีใครอัญเชิญออกจากบริษัทไหม

ข้อความที่เป็นจริงโดยไม่ต้องพิสูจน์แบบนี้เราเรียกว่าสัจพจน์ หนึ่งในสัจพจน์ที่จะช่วยไขความลับของ 1 + 1 = 2 นั่นคือสัจพจน์เปอาโน จากคุณลุง Giuseppe Peano ชาวอิตาเลียน หลังจากผมได้ใช้วุ้นแปลภาษาแล้วจึงสรุปเป็นภาษาไทยได้ดังนี้

มีกลุ่มของจำนวนชนิดหนึ่ง เราเรียกจำนวนนี้ว่าจำนวนธรรมชาติ โดยกลุ่มของจำนวนนี้จะสอดคล้องกับความจริง (สัจพจน์) ต่อไปนี้ (ยกมาเพียง 4 สัจพจน์ที่จะใช้พูดถึง 1 + 1 = 2)

หมายเหตุ ข้อความต่อไปนี้จะพยายามหลีกเลี่ยงการใช้สัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ หากผู้อ่านสนใจดูเชิงสัญลักษณ์ สามารถดูได้จากอ้างอิงท้ายบทความครับ

1. 1 เป็นจำนวนธรรมชาติ
2. ให้ n เป็นจำนวนธรรมชาติแล้ว n จะมีตัวตามหลังเพียงตัวเดียว เรียกตัวตามหลังนี้ว่า n*
3. 1 ไม่เป็นตัวตามหลังของจำนวนธรรมชาติตัวไหนเลย
4. จำนวนธรรมชาติสองตัวถ้ามีค่าเท่ากันแล้วตัวตามหลังของมันทั้งคู่จะเท่ากัน

การบวกจำนวนธรรมชาติ

หัวข้อก่อนหน้านี้เราพูดถึงสัจพจน์ไปแล้วว่ามันคือข้อความที่เป็นจริงโดยไม่ต้องพิสูจน์ ในหัวข้อนี้เราจะมารู้จักกับคำว่าบทนิยามกันบ้างครับ

ไร้คู่ หมายถึงสภาวะที่อยู่คนเดียว ช่างแห้งเหี่ยวและไร้รัก นี่คือคำจำกัดความของมัน ถ้ามีคนบอกว่าสมศรีไร้คู่ เราก็จะรู้ทันทีว่าสมศรีไม่มีแฟน เพราะเรานิยามคำว่าไร้รักไว้แบบนั้น เราไม่มีสิทธิถามว่าทำไมการอยู่คนเดียวอย่างแห้งเหี่ยวและไร้รักถึงเรียกว่าไร้คู่ เพราะนั่นคือสิ่งที่นิยามไว้ ห้ามถาม ห้ามสงสัย ห้ามวิจารณ์ จงทำตามซะ ปัดโถ่!

เมื่อ m และ n เป็นจำนวนธรรมชาติใดๆ จะได้ว่า

1. m + 1 = m*
2. (m + n)* = m + n*

ตามที่กล่าวไปครับ บทนิยามไม่ต้องพิสูจน์ ห้ามถาม ห้ามสงสัย เพราะเขานิยามขึ้นมาไว้ก่อน สิ่งที่เกิดภายหลังจึงเกิดขึ้นมาภายใต้สิ่งที่เรานิยามไว้

• จากสัจพจน์ข้อที่ 1 จะได้ว่า 1 เป็นจำนวนธรรมชาติ
• จากสัจพจน์ข้อที่ 2 เมื่อ 1 เป็นจำนวนธรรมชาติแล้ว แสดงว่า 1 ต้องมีตัวตามหลังคือ 1*

เพื่อให้เกิดเป็นสัญลักษณ์ของตัวเลขขึ้นมา เราจึงนิยามสิ่งต่อไปนี้เพื่อสร้างระบบจำนวน

11 เป็นจำนวนธรรมชาติตัวแรก และมีตัวตามหลังคือ 1*
21* คือตัวตามหลังของ 1 ให้สัญลักษณ์แทน 1* ว่า 2 นั่นคือ 1* = 2
32* คือตัวตามหลังของ 2 ให้สัญลักษณ์แทน 2* ว่า 3 นั่นคือ 2* = 3
43* คือตัวตามหลังของ 3 ให้สัญลักษณ์แทน 3* ว่า 4 นั่นคือ 3* = 4
54* คือตัวตามหลังของ 4 ให้สัญลักษณ์แทน 4* ว่า 5 นั่นคือ 4* = 5
6...
7...
8...

ทำไม 1 + 1 = 2?

ถึงเวลาพิจารณาตามสัจพจน์เปอาโนกันแล้วว่าทำไม 1 + 1 จึงมีค่าเป็น 2?

จากนิยามที่ว่า m + 1 = m* ถ้าเราเปลี่ยนตัว m ให้เป็นเลข 1 เราจะได้ว่า...

1m + 1 = m*
21 + 1 = 1*

จากนิยามที่ว่า 1* คือตัวตามหลังของ 1 ให้สัญลักษณ์แทน 1* ว่า 2 นั่นคือ 1* = 2 เราจึงได้ว่า

11 + 1 = 1*
21 + 1 = 2

เอวังฯ ด้วยประการฉะนี้แล... #แอร์กราบ 3 ที แบบแบมือ

แล้วทำไม 2 + 2 = 4 หละ?

เพื่อนๆอาจสรุปได้แล้วว่า 1 + 1 มีค่าเป็น 2 เพราะเป็นไปตามนิยามที่กำหนดไว้ว่า m + 1 = m* คำถามจึงเกิดต่อว่าแล้วถ้าการบวกเลขอื่นที่ไม่ใช่เพิ่มด้วย 1 นั้นจะเป็นไปตามนิยามด้วยรึเปล่า?

ลองมาดูที่โจทย์ 2 + 2 กันครับ ว่าทำไมมันถึงเป็น 4

12 + 2 = 2 + 1*
2      = (2 + 1)* [จากบทนิยามที่ว่า (m + n)* = m + n* ดังนั้น (2 + 1)* = 2 + 1*]
3      = (2*)*    [เพราะว่า m + 1 = m* ดังนั้น 2 + 1 = 2*]
4      = 3*       [ตามนิยามแล้ว 3 เป็นสัญลักษณ์ที่ใช้แทน 2*]
5      = 4        [ตามนิยามแล้ว 4 เป็นสัญลักษณ์ที่ใช้แทน 3*]

แล้วนั่นหละครับคือที่มาว่าทำไม 2 + 2 จึงเท่ากับ 4

เมื่อเพื่อนๆอ่านจบแล้วคงหายสงสัยกันแล้วนะครับกับคำถามที่ว่าทำไม 1 + 1 = 2 หากใครยังเจอเพื่อนยียวนกวนบาทาด้วยการถามคำถามเหล่านี้ ผมแนะนำให้ตอบกลับอย่างผู้มีภูมิเสมือนจบปริญญาเอกจาก Oxford (จริงๆสัจพจน์เปอาโนนี่เรียนกันตอนปริญญาตรีนะ) มาว่า ก็เป็นไปตามสัจพจน์เปอาโนไง อย่าถามมาก เรารู้เราเรียนมาเยอะ รับรองว่าคงทำให้อีกฝ่ายไปต่อไม่ถูกกันทีเดียว

เอกสารอ้างอิง

รศ. ก่อสุข วีระถาวร และคณะ. แนวคิดหลักมูลทางคณิตศาสตร์ 2. พิมพ์ครั้งที่ 1. กรุงเทพมหานคร: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยรามคำแหง, 2556.